祖暅看到一个小孩在拨弄铜钱，左边整整齐齐叠放8枚，右边有点乱的叠放成8枚。
祖暅看着这两个8枚铜钱，心里突然在想：“不管怎么叠放，这两排铜钱都是一样多的。”
都芳看到祖暅如此说：“这不是废话吗？不管怎么放，当然都是一样多的了。”
祖暅说：“那是因为这两排铜钱，每一层都是一样。”
都芳对祖暅说的话，更摸不着头脑，但是看到祖暅已经有了某种发现。
祖暅说：“我知道，刘徽的对于球体的计算是错误的。”
都芳说：“他提出的难方法是取每边为1寸的正方体棋子八枚，拼成一个边长为2寸的正方体，在正方体内画内切圆柱体，再在横向画一个同样的内切圆柱体。这样两个圆柱所包含的立体共同部分像两把上下对称的伞，刘徽将其取名为“牟合方盖”。根据计算得出球体积是牟合方盖体的体积的四分之三，可是圆柱体又比牟合方盖大，但是《九章算术》中得出球的体积是圆柱体体积的四分之三，显然《九章算术》中的球体积计算公式是错误的。刘徽认为只要求出牟合方盖的体积，就可以求出球的体积。可怎么也找不出求导牟合方盖体积的途径。”
祖暅说：“我想到了，只要使用刚刚那个铜钱的原理，就可以计算出来球体体积了。”
都芳疑惑的说：“你刚刚发现了什么原理？”
祖暅说：“太简单了。“两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。”
都芳说：“这如果求球体体积？找一个跟球体登高的东西吗？”
祖暅说：“知道半球体，就会知道整个球体体积。而半球体与圆柱取出其中圆锥剩下的”
祖暅说着，画出了一个半球体，然后在旁边对齐画出登高圆柱体，这个圆柱体直径与半球体直径一样。
祖暅在圆柱体里画出了一个与圆柱等高的圆锥，并且指示这部分的圆锥已经取出来了。
都芳说：“那就留下了一个缺圆锥的圆柱了。怎么证明，这部分跟旁边的半球体积一样。”
祖暅说：“跟刚刚小孩那两排8枚铜钱的原理一样。”
祖暅说着，画出任一截面，截取了缺圆锥圆柱体和半球，把截取的这两个面积画出来。
祖暅对都芳说：“不论我的截面如何挪动，你都能发现半球截面和那缺圆锥圆柱的截面是相等的。只要我能求出这个缺圆锥圆柱的体积，就可以求出半球体。”
都芳说：“缺圆锥的圆柱是原来圆柱的三分之二的体积啊。所以一个球体体积应该是。”
都芳边想边算，说：“所以一个球体是这个圆柱的三分之四的体积。”
祖暅说：“刘徽居然认为是四分之三，他算反了，哈哈哈。”